Question

学校生物园有一块空地是锐角△ABC的形状（如图甲），面积为100平方米，BC=a米，AB=c米，且a＞c．现在准备将这块空地扩建成矩形草坪，四周用栅栏围起来．现在有图乙、图丙两种方案．

在图甲中，由S=

1

2

ah=100可得ah=200，∵c＞h，∴ac＞200．
（1）在图乙中，矩形BCED的面积为

200

平方米，用矩形面积公式可以求出边BD的长为

200

a

米．
（2）在图丙中，矩形ABNM的面积为

200

平方米，边BN的长为

200

c

米．
（3）在图乙、图丙两种方案中，哪种方案矩形的周长较大？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形DECB的长为BC，宽为BD=h，得到矩形的面积为ah，求出矩形的面积即可，再由矩形的面积除以a，即可得到BD的长；
（2）由三角形ABP与三角形BCN相似，根据相似得比例表示出BN，由BN与BD的乘积求出矩形ABNM的面积，由面积除以AB=c即可得到BN的长；
（3）表示出图乙与图丙矩形的周长，相减后判断差大于0，可得出图乙中矩形周长较大．

解答：解：（1）图乙中矩形的长为a，宽为h，
则矩形BCED的面积为ah=200平方米，BD=h=

200

a

；
（2）图丙中，∵∠ABP+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ABP=∠CBN，又∠P=∠N=90°，
∴

AB

BC

=

PB

BN

，即

c

a

=

h

BN

，
∴BN=

ah

c

，
则S_矩形ABNM=AB•BN=c•

ah

c

=ah=200，BN=

200

c

；
故答案为：（1）200；

200

a

；（2）200；

200

c

；

（3）图乙中矩形周长较大，理由为：
图乙中矩形的周长为2（BC+BD）=2a+

400

a

，图丙中矩形的周长为2（AB+BN）=2c+

400

c

，
周长之差为（2a+

400

a

）-（2c+

400

c

）=

2(a-c)(ac-200)

ac

，
∵a＞c，ac＞200，∴周长之差大于大于0，
∴图乙中的方案矩形周长较大．

点评：此题考查了分式混合运算的应用，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，作差法判断两式的大小，以及矩形面积公式，是一道综合性较强的试题．