Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作AD∥BC，交BO的延长线于点D，且AD是⊙O的切线，连接AO并延长AO与BC交于E点．
（1）试说明：AB=AC；
（2）连接CD，若CD是⊙O的切线，⊙O的半径为6，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由平行和切线的性质可知AE⊥BC，由垂径定理可求得

AB

=

AC

，可得出结论；
（2）由条件结合切线长定理可证得BC=CD，可证得四边形ABCD为菱形，可得∠ADB=∠OBE=30°，在Rt△OBE中可求得OE和BE，则可求出AE和BC，利用平行四边形的面积可求得四边形ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴∠BEA=∠OAD=90°，
又∵AE过圆心，
∴

AB

=

AC

，
∴AB=AC；
（2）解：∵DA，DC为⊙O的切线，
∴∠ADB=∠CBD，DA=CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB=AC=AD=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠OBE=30°，
∴OE=

1

2

OB=3，BE=

3

2

OB=3

3

，
∴AE=9，BC=6

3

，
∴S_{四边形ABCD}=BC•AE=9×6

3

=54

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及菱形的判定和性质，在（1）中掌握连接圆心和切点的半径垂直切线是解题的关键，在（2）中判定出四边形ABCD为菱形是解题的关键．