Question

15、如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到写出变化过程．

Answer 1

分析：由已知条件，根据等边三角形的性质推出△AEF≌△BFD≌△CDE．从而推出AE=BF=CD，AF=BD=CE．

解答：解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE．
事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD．
又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°，
∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），
所以AE=BF=CD，AF=BD=CE．

（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到．

点评：主要考查全等三角形的判与性质及等边三角形的性质；常用的方法有AAS，SSS，SAS等，要灵活运用于具体的题目中，进行角的等量代换是正确解答本题的关键．