Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．如果在点P运动的过程中，使△PQR成为等腰三角形，则x的值是$\frac{18}{5}$、6、$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 根据题画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°即∠1=∠C．根据三角函数即可求出x的值；
②当PQ=RQ时，-$\frac{3}{5}$x+6=$\frac{12}{5}$，x=6；
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．由于tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，x=$\frac{15}{2}$．

解答 解：存在，设BQ=x，QR=y，
∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴$\frac{RQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，∴$\frac{y}{6}$=$\frac{10-x}{10}$，
∴y=-$\frac{3}{5}$x+6，
分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（-\frac{3}{5}x+6）}{\frac{12}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴x=$\frac{18}{5}$．
②当PQ=RQ时，-$\frac{3}{5}$x+6=$\frac{12}{5}$，
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．
∵tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，
∴$\frac{-\frac{3}{5}x+6}{2}$=$\frac{6}{8}$，
∴x=$\frac{15}{2}$．
综上所述，当x为$\frac{18}{5}$或6或$\frac{15}{2}$时，△PQR为等腰三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．