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    如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=6
    		2
    ．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
    （1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；
    （2）在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长；
    （3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
    （4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
    分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
    （2）过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，根据邻补角的定义求出∠AEH=60°，解直角三角形求出AH、EH，再利用勾股定理列式求出BH，然后根据BE=BH-EH代入数据计算即可得解；
    （3）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADG，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点Q的轨迹为以BD为直径的弧AD，然后根据弧长公式列式计算即可得解；
    （4）利用勾股定理列式求出AF，从而得到AB=AF=BF，判断出△ABF是等边三角形，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线BE是AF的垂直平分线，根据等边三角形的性质可得∠ABQ=
    1
    2
    ∠BAF=30°，设BQ与AD相交于H，解直角三角形求出AH，再求出DH，然后在Rt△DHQ中，利用∠ADG的余弦列式求解即可．
    解答：（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
    AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
    ∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
    ∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
    ∴∠BAE=∠DAG，
    在△ABE和△ADG中，
    AB=AD
    ∠BAE=∠DAG
    AE=AG
    ，
    ∴△ABE≌△ADG（SAS），
    ∴BE=DG；

    （2）如图，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，
    ∵∠BEA=120°，
    ∴∠AEH=180°-120°=60°，
    ∵AE=6
    		2
    ，
    ∴AH=AE•sin60°=6
    		2
    ×
    		3
    2
    =3
    		6
    ，
    EH=AE•cos60°=6
    		2
    ×
    1
    2
    =3
    		2
    ，
    在Rt△ABH中，BH=
    		AB2-AH2
    =
    		122-(3
    		6
    )    2
    =
    		90
    =3
    		10
    ，
    ∴BE=BH-EH=3
    		10
    -3
    		2
    ；

    （3）∵△ABE≌△ADG，
    ∴∠ABE=∠ADG，
    ∴∠BQD=∠BAD=90°，
    ∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的
    AD
    ，所对的圆心角是90°，
    ∵AB=12，
    ∴BD=
    		2
    AB=12
    		2
    ，
    ∴旋转过程中点Q运动的路线长=
    90•π•12
    		2
    360
    =3
    		2
    π；

    （4）由勾股定理得，AF=
    		2
    AE=
    		2
    ×6
    		2
    =12，
    ∵BF=BC=12，
    ∴AB=AF=BF=12，
    ∴△ABF是等边三角形，
    又∵AE=EF，
    ∴直线BE是AF的垂直平分线，
    ∴∠ABQ=
    1
    2
    ∠BAF=30°，
    设BQ与AD相交于H，
    则AH=AB•tan30°=12×
    		3
    3
    =4
    		3
    ，
    ∴DH=AD-AH=12-4
    		3
    ，
    在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4
    		3
    ）×
    		3
    2
    =6
    		3
    -6．
    点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难点较大，（2）作辅助线构造出有一个角是60°的直角三角形是解题的关键，（3）难点在于判断出路线是以BD为直径的弧长的一部分，（4）利用到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线BE是AF的垂直平分线是解题的关键．
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    在如图所示的正方形网格中，已知线段AB，A、B均为格点．
    （1）请在网格中画出一个以AB为底边的等腰三角形ABC，且点C也为格点；
    （2）作出△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．

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    （2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）．
    （1）当t=1s时，求S的值；
    （2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；
    （3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积S=
    14
    S△PQR    ？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
    （4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•惠山区一模）阅读与证明：
    如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

    求证：BF+DE=EF．
    分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
    （1）请你将下面的证明过程补充完整．
    证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
    ∵四边形ABCD是正方形
    ∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
    ∴△ABF≌△ADF’（SAS）
    应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
    （2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
    （3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：
    y=-x+30
    		2
    y=-x+30
    		2
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M、N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON．
    （1）试说明OM=ON；
    （2）试判断CN与DM的关系，并加以证明．

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