Question

（2013•厦门质检）四边形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，
（1）如图1，若AD∥BC，AD=6，BC=4，求

AO

CO

的值；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，过点B作BE⊥AC，垂足为E，当∠ACB=30°时，有AC=

3

BE+1，求BC的长度．

Answer 1

分析：（1）先根据AD∥BC可知∠ACB=∠DAC，∠ADB=∠DBC，故可得出△AOD∽△COB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）设BE=x，在Rt△BEC中，由∠ACB=30°可知BC=2BE=2x，在Rt△ABC中由cos∠ACB=

BC

AC

，可用x表示出AC的值，再根据AC=

3

BE+1可得出x的值，进而得出结论．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD∽△COB，
∴

AO

CO

=

AD

BC

=

6

4

=

3

2

；

（2）设BE=x，在Rt△BEC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ACB=

BC

AC

，
∴cos30°=

2x

AC

=

3

2

，
∴AC=

BC

cos30°

=

4x

3

=

4 3

3

x，
又∵AC=

3

BE+1=

3

x+1，
∴

4 3

3

x=

3

x+1，解得x=

3

，
∴BC=2x=2

3

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．