Question

△OAB是直角三角形，∠AOB=30°，过A作AP⊥OB于P，在AP延长线上取一点C，使∠BOC=30°；过P作PQ⊥OC于P，在PQ延长线上取一点D，使∠COD=30°；…；按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=2a，则ON=    ．（可用式子表示）

Answer 1

【答案】分析：利用含30度角的直角三角形的性质，正三角形的性质和AB=2a，求得OP的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OQ的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．
解答：解：∵∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2a，
∴BO=4a，OC=OA=×4a，
∵OP为等边三角形的高，且等边三角形的边长为×4a，
∴OD=OP=（）²×4a，
以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了12次，
∴ON的长为（ ）¹¹×4a=4×（ ）¹¹a．
故答案为：4×（ ）¹¹a．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形的性质和正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．