Question

（2012•河源）如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，2

3

），D（0，3

3

），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是

（6，2

3

）

；②∠CAO=

30

度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为

（3，3

3

）

；（直接填写答案）
（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2

3

），
∴点B的坐标为：（6，2

3

）；

②∵tan∠CAO=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠CAO=30°；

③如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3

3

），
∴PE=3

3

，
∴AE=

PE

tan60°

=3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3

3

）；
故答案为：①（6，2

3

），②30，③（3，3

3

）；

（2）当0≤x≤3时，
如图2，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得

EF

OQ

=

PE

PO

=

DC

DO

=

3

3 3

=

1

3

，
EF=

1

3

（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S_梯形=

1

2

（EF+OQ）•OC=

4 3

3

（3+x）；
如图3，当3＜x≤5时，∵AQ=OI+IQ-OA=x+3-6=x-3，
则AH=

3

（x-3），
则S=S_梯形EFQO-S_△HAQ=S_梯形EFQO-

1

2

AH•AQ
=

4 3

3

（3+x）-

3

2

（x-3）²，
=-

3

2

x²+

13 3

3

x-

3

2

如图4，当5＜x≤9时，∵CE∥DP，
∴

CO

DO

=

CE

DP

，
∴

2 3

3 3

=

CE

x

，
∴CE=

2

3

x，
∴BE=6-

2

3

x，
∴S=

1

2

（BE+OA）•OC=

3

（12-

2

3

x），
如图5，当9＜x时，∵AH∥PI，
∴

AO

OI

=

AH

PI

，
∴

6

x

=

AH

3 3

，
∴AH=

18 3

x

，
∵AO=6，
∴S=

1

2

OA•AH=

54 3

x

．

点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．