Question

如图，AB为⊙O的直径，AC，BD分别和⊙O相切于点A，B，点E为圆上不与A，B重合的点，过点E作⊙O的切线分别交AC，BD于点C，D，连接OC，OD分别交AE，BE于点M，N．
（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半径及弦AE的长；
（2）当点E在⊙O上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明．

Answer 1

解：（1）∵AC，BD，CD分别切⊙O于A，B，E，AC=4，BD=9，
∴CE=AC=4，DE=BD=9，
∴CD=13，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAC=∠ABD=90°；
过点C作CF⊥BD于F，则四边形ABFC是矩形，
∴FD=5，CF==12，
∴AB=12，
∴⊙O的半径为6．
连接OE．
∵CA=CE，OA=OE，
∴OC垂直平分弦AE，
∵OC=，
∴AM=，
∴AE=2AM=；

（2）当点E在⊙O上运动时，由（1）知OC垂直平分AE，同理，OD垂直平分BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴四边形OMEN为矩形；
当动点E满足OE⊥AB时，
∵OA=OE，
∴∠OEA=45°，
∴MO=ME，
∴矩形OMEN为正方形．
分析：（1）作辅助线，连接OE，过点C作CF⊥BD于点F，可证：四边形ABFC为矩形，根据切线的性质和AC，BD的长可知CD和FD的长，根据勾股定理可将CF即⊙O的直径求出，进而可将⊙O的半径求出；在Rt△OAC中，根据OA和AC的长，可将AM的长求出，进而可将AE的长求出；
（2）由（1）知：OC垂直平分AE，同理，OD垂直平分BE，由AB为直径，可知：∠AEB=90°，故四边形OMEN为矩形，当OE⊥AB时，可证：矩形OMEN为正方形．
点评：本题主要考查切线的性质及正方形的判定定理．