Question

小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：随x（单位：cm）的变化而变化，且10≤x≤25．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
（3）若这个三角形面积S不小于182cm²，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）S=

1

2

x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；
（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可；
（3）利用三角形面积S为182cm²，得出x的值，进而得出S不小于182cm²时x的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：S=

1

2

x（40-x）=-

1

2

x²+20x；

（2）∵-

1

2

＜0，
∴S有最大值，
∴当x=-

b

2a

=-

20

2×(- 1 2 )

=20时，
S有最大值为

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 2 )×0-202

4×(- 1 2 )

=200（cm²）．
∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm²．

（3）当S=182时，182=-

1

2

x²+20x
整理得：x²-40x+364=0，
（x-14）（x-26）=0，
解得：x₁=14，x₂=26，
∵a=-

1

2

＜0，
∴这个三角形面积S不小于182cm²，则x的取值范围是：14≤x≤25．
故答案为：14≤x≤25．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，掌握二次函数的顶点为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）是解决本题的关键．