Question

如图，点A（m，m+1），B（m+1，2m-3）都在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求m，k的值；  
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）利用两点都在圆上，均满足反比例函数的解析式即可求列出有关m的方程，然后求得m的值即可求得两点的坐标，从而求得比例系数k；
（2）分当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时两种情况分类讨论即可；

解答：解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+1）（2m-3）
解得 m₁=3，m₂=-1（舍去）
∴A（3，4），B（4，3）；
∴k=4×3=12．  

（2）存在两种情况，如图：

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴
上时，设M₁点坐标为（x₁，0），N₁点坐标为（0，y₁）．
∵四边形AN₁M₁B为平行四边形，
∴线段N₁M₁可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移3个单位得到的（也可看作向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（4，3），
∴N₁点坐标为（0，1），
M₁点坐标为（1，0）．      
设直线M₁N₁的函数表达式为y=k₁x+1，把x=1，y=0代入，解得k₁=-1．
∴直线M₁N₁的函数表达式为y=-x+1．
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M₂点坐标为（x₂，0），N₂点坐标为（0，y₂）．
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂．
∴线段M₂N₂与线段N₁M₁关于原点O成中心对称．
∴M₂点坐标为（-1，0），N₂点坐标为（0，-1）．
设直线M₂N₂的函数表达式为y=k₂x-1，把x=-1，y=0代入，解得k₂=-1，
∴直线M₂N₂的函数表达式为y=-x-1． 
所以，直线MN的函数表达式为y=-x+1或y=-x-1．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．平行四边形从动态来看也可以是由一条线段平移得到的．