Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OA，如图，先根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=120°，则∠AOP=60°，再计算出∠OCA的度数，接着利用AP=AC得到∠P=∠ACO=30°，然后根据三角形的内角和可计算出发∠APO=90°,于是利用切线的判定定理可判断出PA是⊙O的切线；

（2）在Rt△AOP中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PO=2OA=6，PA=OA=3，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可.

试题解析：（1）连接OA，如图，

∵∠AOC=2∠B=120°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=（180°-120°）=30°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACO=30°，

∴∠PAO=180°-30°-60°=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）在Rt△AOP中，PO=2OA=6，PA=OA=3，

∴S阴影部分=S△PAO-S扇形OAD=．