Question

如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．

Answer 1

解：以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．
理由如下：以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC．如右图所示．
∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°，
∴AB²+BE²=AE²①，
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
在△DCB和△ACE中，DC=AC，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，
又∵BC=CE，
∴△DCB≌△ACE，
∴BD=AE，
∵BC=BE，
由①式，可得BD²=AB²+BC²．
∴以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．
分析：先以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC，由于AC=CD，∠ACF=∠DCB，CB=CF，利用SAS易证△DCB≌△ACE，那么AE=CB，而△ABE是直角三角形，根据勾股定理有AB²+BE²=AE²，等量代换可得AB²+BC²=BD²．
点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线，并证明△DCB≌△ACE．