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    已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点C(1，－3)，与x轴交于A、B两点，A(－1，0)．

    (1)求这条抛物线的解析式．

    (2)如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

    (3)在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F，G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－3　1分

    　　将A(－1，0)代入：0＝a(－1－1)2－3，解得a＝　2分

    　　所以，抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－x－　3分

    　　(2)是定值，＝1　4分

    　　∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以　①

    　　同理：　②　5分

    　　①＋②：　6分

    　　(3)∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB，

    　　∴EA＝EB，

    　　∵∠AEB＝90°，

    　　∴△AEB为等腰直角三角形，

    　　∴∠EAB＝∠EBA＝45°　7分

    　　如图，过点P作PH⊥BE与H，

    　　由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形．

    　　∴PH＝ME且PH∥ME．

    　　在△APM和△PBH中，∵∠AMP＝∠PBH＝90°，∠EAB＝∠BPH＝45°，

    　　∴PH＝BH，且△APM∽△PBH，

    　　∴，∴　①　8分

    　　在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE＋∠SEG＝90°，

    　　∵∠MEP＋∠SEG＝90°，∴∠FGE＝∠MEP，

    　　∵∠MPE＝∠FEG＝90°，∴△MEP∽△EGF，

    　　∴　②

    　　由①、②知：　9分

    　　(本题若按分类证明，只要合理，可给满分)


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y＝ax 2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）若点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标；

    （3）在（2）的条件下，连结BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

     


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y＝ax+bx+c与轴交于两点，若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根，与轴交于点（0，3），

    1.（1）求抛物线的解析式；

    2.（2）在此抛物线上求点，使.

     

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年北京师大附中九年级上学期期中考试数学卷 题型：解答题

     已知抛物线y＝ax+bx+c与轴交于两点，若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根，与轴交于点（0，3），

    1.（1）求抛物线的解析式；

    2.（2）在此抛物线上求点，使.

     

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年北京师大附中九年级第一学期期中考试数学卷 题型：解答题

    已知抛物线y＝ax+bx+c与轴交于两点，若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根，与轴交于点（0，3），

    1.（1）求抛物线的解析式；

    2.（2）在此抛物线上求点，使.

     

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    科目：初中数学 来源：2012届湖南省九年级下学期第一次月考考试数学卷 题型：选择题

    ．（13分）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点，连接AB，过点B作BC∥轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；

    （3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．

     

     

     

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