Question

3．如图，点B（2，n）是直线y=k₁x（k₁≠0）上的点，如果直线y=k₁x（k₁≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C．
（1）求k₁的值；
（2）如果反比例函数y=$\frac{k_2}{x}$（k₂≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E，求证：OD=OE；
（3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE的面积是△ABO面积的$\frac{4}{3}$，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据角的平分线的性质，可得B的横、纵坐标相等，则利用待定系数法即可求得k₁的值；
（2）利用k₂表示出D和E的坐标，然后利用勾股定理求得OD和OE的长，从而判断；
（3）S_△BOE=$\frac{1}{2}$S_{四边形BDOE}，则S_△BOE=$\frac{2}{3}$S_△AOB，据此即可求得AE的长，则k₂即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=k₁x（k₁≠0）平分∠yOx，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，
∴AB=BC；又B（2，n），
∴AB=BC=2；
∴B（2，2），
∴2=2k₁，
∴k₁=1．
（2）∵反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）的图象与BC、BA分别交于点D、E，
∴D（$\frac{{k}_{2}}{2}$，2），E（2，$\frac{{k}_{2}}{2}$）；
∴OD=$\sqrt{（\frac{{k}_{2}}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}_{2}^{2}}{4}+4}$，OE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{{k}_{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{{k}_{2}^{2}}{4}}$；
∴OD=OE．
（3）由题意，可得△BOD≌△BOE，
∴S_△BOE=$\frac{1}{2}$S_{四边形BDOE}；
又S_{四边形BDOE}=$\frac{4}{3}$S_△AOB，
∴S_△BOE=$\frac{2}{3}$S_△AOB，
即$\frac{1}{2}$BE•OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$AB•OA，
∴BE=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{4}{3}$；
∴AE=$\frac{2}{3}$，
∴E（2，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{{k}_{2}}{2}$，
解得k₂=$\frac{4}{3}$，
∴y=$\frac{4}{3x}$．

点评 本题考查了反比例函数与正方形的性质的运算，正确求得AE的长是本题的关键．