Question

2．在⊙O中，点A，B，C，E在⊙O中，点D为弦AB上一点，连接BE，CE，AC，若BD=CD，CD∥BE．
（1）如图1，求证：CE=AC；
（2）若点D与O重合，如图2，连接AE、BC，作EH⊥BC于H，CK⊥AB于K，求证：AE=2HK．
（3）在（2）的条件下，如图2，BK=3HK，EC=4$\sqrt{10}$，求BH长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BC．只要证明∠EBC=∠CBA，推出$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，即可证明．
（2）如图2中，延长CK交⊙O于F，连接EF交BC于H′，连接AF．利用同一法证明H与H′重合，再证明AE=CF，CF=2HK即可．
（3）利用tan∠CBA=$\frac{1}{3}$，求出BC、AB、CK，在Rt△CHF中，利用tan∠CFH=$\frac{1}{3}$，求出CH即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，连接BC．

∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵CD∥BE，
∴∠EBC=∠BCD，
∴∠EBC=∠CBD，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，
∴EC=AC．

（2）如图2中，延长CK交⊙O于F，连接EF交BC于H′，连接AF．

∵∠EBC=∠EFC，∠BEF=∠FAB，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EFC=∠CFA，
∵∠AFK+∠FAB=90°，
∴∠EBC+∠AEF=90°，
∴∠BH′E=90°，
∴EH′⊥BC，∵EH⊥BC，
∴H与H′重合，
∵AB⊥CF，
∴CK=KF，$\widehat{AC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CF}$，
∴AE=CF，
在Rt△CHF中，HK=$\frac{1}{2}$CF，
∴AE=CF=2HK．

（3）∵BK=3HK=3CK，
∴tan∠CBA=$\frac{CK}{BK}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵AC=CE=4$\sqrt{10}$，
∴BC=12$\sqrt{10}$，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（12\sqrt{10}）^{2}+（4\sqrt{10}）^{2}}$=40，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CK=$\frac{1}{2}$•BC•AC，
∴CK=$\frac{BC•AC}{AB}$=12，
∴CF=2CF=24，
∵tan∠CFH=tan∠CBA=$\frac{CH}{FH}$=$\frac{1}{3}$，设HC=a，FH=3a，
∴a²+（3a）²=24²，
∴a=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴HC=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴BH=BC-CH=12$\sqrt{10}$-$\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{48\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用锐角三角函数解决问题，学会利用同一法证明H与H′重合，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．