Question

某旅游开发公司为了方便旅客，购置50套卧具（供旅客上山休息使用），当每套卧具每晚租金为30元时，卧具就会全部租完；如果每套卧具租金每晚增加1元，就会有一套卧具租不出去．综合考虑各种因素，每租出一套卧具需交付管理部门及其它费用4元．设每套卧具每晚租金为x（元），旅游开发公司每晚的收益为y（元）．
（1）当每套卧具每晚租金为35元、49元时，计算此时的收益．
（2）求出y与x的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）
（3）旅游开发公司要获得每晚的最大的收益，每套卧具每晚的租金应定为多少元？每晚的最大收益是多少元？

Answer 1

解：（1）当每晚租金为35元时，收益为=（35-4）×（50-）=1 395元；
当每晚租金为49元时，收益为=（49-4）×（50-）=1 395元；

（2）y=（x-4）（50-）
=-x²+84x-320；

（3）∵y=-x²+84x-320=-（x-42）²+1444
∴每套卧具每晚的租金应定为42元，此时有最大收益为1 444元．
分析：（1）根据条件“当每套卧具每晚租金为30元时，卧具就会全部租完；如果每套卧具租金每晚增加1元，就会有一套卧具租不出去”计算即可；
（2）由题意得：收益y=总租金-每租出一套卧具需交付管理部门及其它费用4元，列出函数关系式即可；
（3）有（2）的函数关系式配方，利用二次函数的性质可求出旅游开发公司要获得每晚的最大的收益，每套卧具每晚的租金应定为多少元和每晚的最大收益是多少元．
点评：本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．