Question

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120，BC边上的高AD=80．
（1）如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少？
（2）如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．问加工成的长方形零件的最大面积是多少？

Answer 1

（1）设正方形零件的边长为a
在正方形PMQN中，PM∥BC，PQ∥AD
∴△APM∽△ABC，△BPQ∽△BAD
∴

PM

BC

=

AP

AB

，

PQ

AD

=

BP

BA

∴

PM

BC

+

PQ

AD

=

AP

AB

+

BP

BA

=1
即：

a

120

+

a

80

=1
解得：a=48
即：正方形零件的边长为48；

（2）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时，
由（1）知：

y

120

+

x

80

=1
∵

y

120

+

x

80

≥2

y 120 × x 80

∴当

y

120

=

x

80

=0.5，即x=60，y=40，xy最大为2400
当长方形的宽在BC时，

x

120

+

y

80

=1
∵

x

120

+

y

80

≥2

x 120 × y 80

∴当

x

120

=

y

80

=0.5，即x=40，y=60，xy最大为2400，
又∵x≥y，所以长方形的宽在BC时，面积＜2400
综上，长方形的面积最大为2400．