已知.△ABC为等边三角形.点D为直线AB上一动点．以CD为边作菱形CDEF.使∠DCF=60°.连接AF． (1)如图1.当点D在边AB上时. ①求证:∠BDC=∠AFC, ②请直接判断结论∠AFC=∠BAC+∠ACD是否成立? (2)如图2.当点D在边BA的延长线上时.其他条件不变.结论∠AFC=∠BAC+∠ACD是否成立?请写出∠AFC.∠BAC.∠ACD之间存在的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知，△ABC为等边三角形，点D为直线AB上一动点（点D不与A、B重合）．以CD为边作菱形CDEF，使∠DCF=60°，连接AF．

（1）如图1，当点D在边AB上时，

①求证：∠BDC=∠AFC；

②请直接判断结论∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？

（2）如图2，当点D在边BA的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？请写出∠AFC、∠BAC、∠ACD之间存在的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当点D在边AB的延长线上时，且点C、F分别在直线AB的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠BAC、∠ACD之间存在的等量关系．

【答案】

（1）①详见解析；（2）成立；（2）不成立，∠AFC=∠BAC-∠ACD；（3）∠AFC+∠ACD=2∠BAC

【解析】

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，根据菱形的性质及∠DCF=60°可得CF=CD，∠ACF=∠BCD，即可证得△BCD≌△ACF，从而可以证得结论；

②由△BCD≌△ACF可得∠AFC=∠BDC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证得结论；

（2）同（1）可证得△BCD≌△ACF，即可得到∠AFC=∠BDC，再结合三角形的外角的性质即可作出判断；

（3）先根据题意画出图形，再结合（1）（2）中的结论即可作出判断.

试题解析：（1）①∵△ABC为等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC；

②∵△BCD≌△ACF

∴∠AFC=∠BDC

∵∠BDC=∠BAC＋∠ACD

∴∠AFC=∠BAC＋∠ACD成立；

（2）∠AFC=∠BAC＋∠ACD不成立

∵△ABC为等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC

∴∠AFC=∠BDC=∠BAC-∠ACD；

（3）如图所示：

则有∠AFC+∠ACD=2∠BAC.

考点：1.全等三角形的性质和判定；2.等边三角形的性质；3.菱形的性质

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24、已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

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（1）如图①所示，当点D在线段BC上时：
①试说明：△ACD≌△CBF；②判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）如图②所示，当点D在BC的延长线上时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由．
（3）当点D在射线BC上移动到何处时，∠DEF=30°，并说明理由．

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