Question

如图，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径的半圆O交AC于点E，点G是AD的中点．
（Ⅰ）GE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（Ⅱ）若EC=4，DC=6，求直角边AD的长．

Answer 1

解：（1）GE与半圆O相切，理由是：
连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∵G为AD中点，
∴EG=AD=DG，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，
即∠OEG=∠ODG=90°，
∴GE⊥OE，
∵OE是⊙O半径，
∴GE是⊙O切线；

（2）∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴=，
∴CA===9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD===3．
分析：（1）连接OE，DE，根据DC是直径得出∠CED=90°，推出∠AED=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EG=AD=DG，推出∠GED=∠GDE，再推出∠OED=∠ODE，求出∠OEG=∠ODG=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△CED∽△CDA，推出=，代入求出CA=9，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AD即可．
点评：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．