Question

如图，在梯形中，，，，，

　 ，是腰上一个动点（不含点），作交于点（图）

（1）求的长与梯形的面积；

（2）当时，求的长；（图）

Answer 1

解：（1）如图过B点作BECD，垂足为E

在RtBEC中，BEC=90度， tanC=，AD=BE=4

 ∴ tanC=，CE=3

由勾股定理可得BC=5

AB=DE=2　　　

∴CD=5

∴ S梯形ABCD=

（2）

解法一：如图过点P作PNCD，交CD于点N，交AB 的延长线于M

已知条件可知点P是点D沿AQ翻折而得到的，推得AP=4  

梯形ABCD  ∴AB∥CD ∴∠MBP=∠C

在RtBMP中，∠BMP=90度，BP=x ,tan∠BMP=tan∠C=

可推得MP=，BM=

在RtAMP中，利用勾股定理可推得

 即

整理方程得 

解之满足条件的。

解法二：

解：过点Q作QHBC,垂足为H，过点A

作AGBC,交BC的延长线于点G.

由题意可知：AP=4

∵梯形ABCD ∴AB∥CD  ∴∠ABG=∠C

∵AB=2,tan∠ABG＝tan∠C= 

∴可通过解直角三角形得AG= BG=

在RtAPG中，利用勾股定理可得 即

化简得，以下解法同上。

解法三：

解：如图延长AP与DC相交于点F，可推得AP=4

由已知可得AB=2，BP=x，CP=5－x

利用相似三角形的知识或平行线截线段成比例

定理可得

在RtADF中，∠D=90度，

即。

化简得，以下解法同解法一、二。