Question

如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数是否总保持不变，若∠FCN的大小保持不变，请说明理由；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（SAS）；

（2）解：∠FCN=45°．
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EFH和△ABE中，
，
∴△EFH≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°．
分析：（1）由四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，易证得AB=AD，AE=AG，∠BAE=∠DAG，则可利用SAS证得：△ADG≌△ABE；
（2）首先作FH⊥MN于H，易证得△EFH≌△ABE，即可得FH=BE，EH=AB=BC，继而可得CH=FH=BE，即可得△CFH是等腰直角三角形，即可求得∠FCN的度数．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．