Question

已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC=CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=CD；
（2）过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据等角的补角相等求出∠D=∠CBF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=CF，然后利用“角角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：（1）证明：∵∠D=∠B=90°，
∴CD⊥AD，CB⊥AB，
∵AC平分∠BAD，
∴BC=CD；

（2）解：一定相等．
证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，
∴∠CBF与∠ABC互补．
∵∠B和∠D都是直角，互为补角，
∴∠D=∠CBF，
又∵AC是∠BAD的平分线，
∴CE=CF，
在Rt△BCF与Rt△DCE中，

∠D=∠CBF ∠DEC=∠CFB CE=CF

，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），
∴BC=CD．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．