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    2．如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点P1、P2将线段AB分成三条相等的线段AP1、P1P2和P2B，那么点P1、P2叫做线段AB的三分点；依此类推，如果点P1、P2、…、Pn-1将线段AB分成n条相等的线段AP1、P1P2、P2P3、…、Pn-1B，那么点P1、P2、…、Pn-1叫做线段AB的n等分点，如图（1）所示

    已知点A、B在直线l的同侧，请解答下面的问题；
    （1）在所给边长为1个单位的正方形网格中，探究：
    ①如图（2），若点A、B到直线l的距离分别是4个单位和2个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是3单位．
    ②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{7}{2}$单位．
    ③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{h+t}{2}$单位．
    （2）如图（4），若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P1、P2到直线l的距离$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$
    （3）若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，点P1、P2、…Pn-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点Pi到直线l的距离是$\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．

    分析 （1）根据三角形的中位线定理以及梯形的中位线定理进行计算．
    （2）设P1M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，则P2N=2x-d1，由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P2N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d1，易求即点1、P2到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$；
    （3）根据（1）、（2）的规律总结第i个n等分点Pi到直线l的距离．

    解答 解：（1）①如图（2），AB在直线l的同侧，则线段AB的中点P到直线l的距离是$\frac{1}{2}$×（4+2）=3（cm）；
    故答案是：3；
    ②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是：$\frac{2+5}{2}$=$\frac{7}{2}$（单位）．
    故答案是：$\frac{7}{2}$；
    ③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是 $\frac{h+t}{2}$单位．
    故答案是：$\frac{h+t}{2}$．

    （2）如图（4），设P1M=x，由（1）中结论可得$\frac{AC+{P}_{2}N}{2}$=x，
    ∴P2N=2x-d1，
    由（1）中结论可得$\frac{{P}_{1}M+BD}{2}$=P2N，即$\frac{x+{d}_{2}}{2}$=2x-d1，
    解方程得x=$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，
    ∴P2N=$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，即点1、P2到直线l的距离分别为$\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$、$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$，
    若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P1、P2到直线l的距离 $\frac{2{d}_{1}+{d}_{2}}{3}$，$\frac{{d}_{1}+2{d}_{2}}{3}$．

    （3）若点A、B到直线l的距离分别是d1和d2，点P1、P2、…Pn-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点Pi到直线l的距离是 $\frac{（n-1）{d}_{1}+i{d}_{2}}{n}$．

    点评 本题考查了两点间的距离和点到直线的距离．解题时，注意数形结合数学思想的应用．

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    5．（1）填表：
     a 0.000 0010.001 11000  1000 000
     $\root{3}{a}$0.010.1 1 10 100 
    （2）由上表你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．

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    比较系数得$\left\{\begin{array}{l}{2a+1=-1}\\{a+2b=0}\\{b=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\frac{1}{2}}\\{m=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$∴m=$\frac{1}{2}$．
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    （1）$\sqrt{24}$-$\sqrt{\frac{2}{3}}$+$\sqrt{2\frac{1}{6}}$+$\sqrt{12}$；
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    （1）比较2a2与a2-1的大小，并说明理由．
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