Question

已知：抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0）、B（0，5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求△BCD的面积．
（3）将抛物线及△BCD同时向右平移a（0＜a＜5）个单位，那么△BCD将会被y轴分为两部分，如果被y轴截得的三角形面积等于△BCD面积的，求此时抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）将点A（1，0）、点B（0，5）代入抛物线y=-x²+bx+c可得：，
解得：，
故抛物线解析式为：y=-x²-4x+5．

（2）由y=-x²-4x+5，
令y=0，得-x²-4x+5=0，
解得：x₁=-5，x₂=1，
则点C的坐标为（-5，0），
由抛物线顶点坐标可得点D的坐标为（-2，9），
过点D作DM⊥x轴于点M，
则S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC=×（5+9）×2+×3×9-×5×5=15；

（3）平移后点B的坐标为（a，5），点C的坐标为（-5+a，0），点D的坐标为（-2+a，9），
则直线BC的解析式为：y=x+5-a，
直线CD的解析式为：y=3x+15-3a，
直线BD的解析式为：y=-2x+2a+5，
①当点D在y轴左侧或y轴上时，0＜a≤2，如图1所示：

点F的坐标为（0，2a+5），点E的坐标为（0，5-a），
过点B作BH⊥y轴于点H，
S_△BEF=EF×BH==×15，
解得：a=或-（舍去）；
②当点D在y轴右侧时，2＜a＜5，如图2所示：

点F的坐标为（0，-15-3a），点E的坐标为（0，5-a），
S_△CEF=EF×OC=a²-10a+25=×15，
解得：a=5+（舍去）或a=5-，
综上可得：当a=时，抛物线解析式为：y=-（x+2-）²+9；
当a=5-时，抛物线解析式为：y=-（x-3+）²+9．
分析：（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式求出点C、点A的坐标，过点D作DM⊥x轴于点M，根据S_△BCD=S_梯形BOMD+S_△DCM-S_△BOC，可得出△BCD的面积；
（3）分两种情况讨论，①点D在y轴左侧，②点D在y轴右侧，根据△BCD被y轴截得的三角形面积等于△BCD面积的，可得出a的方程，解出即可得出答案．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积及二次函数的几何变换，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，能将所学知识融会贯通．