Question

如图，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=，以CA为半径的⊙C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
（2）求△AED的面积．

Answer 1

解：（1）过点作CF⊥AB于点F，
∵AC=15，sin∠CAB=，
∴CF=AC•sin∠CAB=15×=12，
在Rt△ACF中，
∵AC=15，CF=12，
∴AF===9，
∴BF=AB-AF=25-9=16，
在Rt△BCF中，
∵BF=16，CF=12，
∴BC===20；

（2）∵CF⊥AB，AF=9，
∴AD=2AF=18，
∵BC=20，CE=AC=15，
∴BE=BC-CE=20-15=5，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴=，=，解得EG=3，
∴S_△AEG=AD•EG=×18×3=27．
分析：（1）过点作CF⊥AB于点F，由AC=15，sin∠CAB=求出CF的长，由勾股定理求出AF的长，故可得出BF的长，在Rt△BCF中，根据勾股定理可求出BC的长；
（2）由（1）中CF⊥AB可知AD=2AF，根据BC的长可得出BE的长，过点E作EG⊥AB于点G，由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF，故可得出EG的长，再根据S_△AEG=AD•EG即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．