Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc＞0；②b²＜4ac；③（a+c）²＞b² ④a＜$\frac{c-b}{2}$，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线开口方向、对称轴及与y轴的交点位置可判断出a、b、c的符号，可判断①；由抛物线与x轴的交点个数可判断②；利用x=1和x=-1时的函数值可判断a+b+c和a-b+c的符号，可判断③；把b=-2a代入整理可得c＞0，可判断④，可求得答案．

解答 解：
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，即b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac，故②不正确；
当x=-1时，y＜0，当x=1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，a+b+c＜0，
∴（a-b+c）（a+b+c）＜0，
即（a+c）²-b²＜0，
∴（a+c）²＜b²，故③不正确；
∵b=-2a，
∴$\frac{c-b}{2}$=$\frac{c+2a}{2}$，
若a＜$\frac{c-b}{2}$，则a＜$\frac{c+2a}{2}$，
即2a＜c+2a，则有c＞0，而由题意可知c＞0，
故④正确；
综上可知正确的只有1个，
故选A．

点评 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．