Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．
（1）求证：△O₂CB是直角三角形；
（2）证明：

AB

O2B

=

2BO1

BC

．

Answer 1

分析：（1）⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，可证O₁A⊥AO₂，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B可证O₂C⊥O₂B，故可证．
（2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，三角形相似，进而证明出结论．

解答：证明：（1）∵AO₁是⊙O₂的切线，
∴O₁A⊥AO₂，
∴∠O₂AB+∠BAO₁=90°，
又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B，
∴∠O₂CB=∠O₂AB，
∠O₂BC=∠ABO₁=∠BAO₁，
又∠O₂CB+∠O₂BC=∠O₂AB+∠BAO₁=90°
∴O₂C⊥O₂B，即O₂C⊥O₁O₂，
∴△O₂CB是直角三角形；

（2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，

O2B

AB

=

BC

BD

，
∴AB•BC=O₂B•BD又BD=2BO₁，
∴AB•BC=O₂B•2BO₁．
∴

AB

O2B

=

2BO1

BC

．

点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，此题比较繁琐，做题时应该细心．