Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将D（-4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线与直线BC的交点为（-2，4）（0，4），得出点P在直线BC上方时，m的取值范围，再根据P（m，-m²-3m+4），G（m，4），求出PG=-m²-m；
（3）先由DO∥BC，得到$\frac{BG}{DE}=\frac{GH}{HE}$，表示出BG=GH=-m，HE=DE=4+m，从而判断出只有△PGB∽△DEH，得到比例式求解即可．

解答 解：（1）∵四边形OBCD是正方形，点B坐标为（0，4），
∴D点的坐标是（-4，0），
∵点B和点D在抛物线上
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-16-4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4；
（2）∵4=-m²-3m+4，解得m=-3或0，
∴抛物线与直线BC的交点为（-3，4）（0，4），
∴点P在直线BC上方时，m的取值范围是：-3＜m＜0，
∵E（m，0），B（0，4），
∵PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，-m²-3m+4），G（m，4），
∴PG=-m²-3m+4-4=-m²-3m，
（3）∵抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4；
设点P（m，-m²-3m+4），
∴BG=m，DE=m+4，
∵DO∥BC，
∴$\frac{BG}{DE}=\frac{GH}{HE}$，
∵GH=4，
∴BG=GH=-m，HE=DE=4+m，
∵以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似且∠PGB=∠DEH=90°，
∴△PGB∽△DEH，
∴$\frac{PG}{DE}=\frac{GB}{HE}$，
∴GB=PG，
∴-m=-m²-3m，
∴m=2或m=0（舍）
即：m=2

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、线段的表示、正方形的性质等知识，综合性较强，运用数形结合、方程思想是解题的关键．