Question

以下哪些选项可判断二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点：

 

（只需填上正确的序号）
①a+b+c=0；②b＞a+c；③b=2a+3c；④ac＜0．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：数形结合

分析：当a+b+c=0，即b=-（a+c），再计算△得到△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，因此可判断二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有一个或两个交点；当b＞a+c，不能确定二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数；当b=2a+3c或ac＜0时，可计算出△＞0，于是可判断二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点．

解答：解：当a+b+c=0，即b=-（a+c），则△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有一个或两个交点，所以①错误；
当b＞a+c，即a-b+c＞0，所以当x=-1时，函数值为正数，不能确定二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数，所以②错误；
当b=2a+3c，则△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+c²＞0，所以二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，所以③正确；
当ac＜0，则△=b²-4ac＞0，所以二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，所以④正确．
故答案为③④．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．