Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，将正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴的负半轴上，A点的坐标是（-1，0）．
（1）若经过点C的直线与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）是否存在经过点E的直线l将正方ABCD分成面积相等的两部分？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，A点的坐标是（-1，0），
∴B（-5，0），
∵当y=0时，-x-8=0，解得x=-，
∴E（-，0），
∴AE=|-+1|=，
∴S_{四边形AECD}=（CD+AE）×AD=×（4+）×4=；

（2）存在经过点E的直线l将正方ABCD分成面积相等的两部分．理由如下：
连接BD，设BD的中点为F，连接EF，
∵B（-5，0），D（-1，4），
∴F（-3，2），
∵经过正方形中心的直线将正方形分成面积相等的两部分，
∴经过点E、F的直线将正方ABCD分成面积相等的两部分，
设直线EF的解析式是y=kx+b（k≠0）．
又∵E（-，0），
∴，
解得，，
∴直线l的解析式是y=6x+20．
分析：（1）先根据正方形ABCD的边长为4，A点的坐标是（-1，0）求出B点坐标，再把y=0代入直线即可求出x的值，故可得出E点坐标，由梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；
（2）连接BD，求出BD的中点F的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式即可．
点评：本题考查了梯形的面积公式、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点．注意，设直线方程y=kx+b时，不要忘记k≠0这一条件．