Question

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（万件）之间的关系如下表：

x（元）	10	15	20	…
y（件）	30	25	20	…

若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（万件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）若每日的销售利润为w（万元），要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应为多少元？此时每日销售利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种产品的销售单价不得高于23元，如果厂商每月要获得不少于125万元的利润，那么这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：销售问题

分析：（1）因为日销售量y是销售价x的一次函数，设y=kx+b，代入对应数值求出函数解析式即可；
（2）利用销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本，日销售量y是销售价x的一次函数，求得利润w为二次函数，运用二次函数的性质，可求最大利润；
（3）利用“销售单价不得高于23元，如果厂商每月要获得不少于125万元的利润，”可得-x²+50x-400≥125，从而可求x的范围，进一步可求y的范围，即可得出结论．

解答：解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b，
则

15k+b=25 20k+b=20

解得k=-1，b=40
∴一次函数的关系式为y=-x+40．

（2）设所获利润为w元，
则w=（x-10）（40-x）
=-x²+50x-400
=-（x-25）²+225，
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元．

（3）∵厂商要获得每月不低于125万元的利润，
∴-x²+50x-400≥125，
∴15≤x≤35，
∵销售单价不能高于23元，
∴15≤x≤23，
∵y=-2x+100，
∴54≤y≤70，
∴y=54时，制造成本为：540万元．
∴制造出这种产品每月的最低制造成本需要540万元．

点评：本题考查了二次函数的运用，一次函数及二次函数最大值求法，难度适中，解答本题的关键是根据题意，逐步求解，由易到难，搞清楚这两个函数之间的联系．