Question

如图，正方形ABCD，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于O，交边AB的延长线于N．
（1）选图中任一对相似三角形，并证明；
（2）若∠P=60°，CP=2，求OE的长．

Answer 1

解：（1）△OCM∽△OEP．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OCM=90°，
∵DP⊥OE，
∴∠OEP=90°，
而∠MOC=∠POE，
∴△OCM∽△OEP；

（2）在Rt△DCP中，∠P=60°，CP=2，
∴DP=2CP=4，
∵OE垂直平分DP，
∴PE=DP=2，
在Rt△POE中，OE=PE=2．
分析：（1）由正方形的性质得∠OCM=90°，由DP⊥OE得到∠OEP=90°，加上∠MOC=∠POE，于是可判断△OCM与△OEP相似；
（2）在Rt△DCP中，由于∠P=60°，CP=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DP=4，再根据OE垂直平分DP得到PE=DP=2，所以在Rt△POE中，OE=2．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了正方形的性质和垂直平分线的性质．