Question

直角梯形纸片ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，P落在直角梯形ABCD内部．
（1）若AE=5，要使PD值最小，确定点P的位置，同时说明PD值最小的理由．
（2）当AE为多少时，PD的值最小．

Answer 1

解：根据题意画出图形如图1所示：
（1）PD=-5．
已知EP=5，
DE==，
D在以E为圆心5为半径的圆外，
∴P为⊙E与DE的交点，
∴PD=-5；


（2）连接ED，过P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（图2）
而E在线段AB上，
故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（图3）
此时，AB=BP=8，
又∵BD==4，
∴PD=BD-BP=4-8．
AE=x，
DE=，
DP=-x，
解得x=8．
分析：（1）利用勾股定理易得DE的长，画出以E为圆心，AE长为半径的圆，可得P为DE与⊙E的交点；
（2）连接ED，过P₁P⊥ED于P，得到PD的最小值，利用勾股定理可得AE的值．
点评：考查了折叠的相关问题；用到的知识点为：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；注意利用矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求解．