Question

16．在平面直角坐标中，OA=4，OB=8，直线y=-2x+b交x轴和y轴于点D、E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，试求b的值；
（3）若$\frac{DC}{EC}$=$\frac{2}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入即可解决问题．
（2）根据题意求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）想办法用b表示点C坐标，代入直线AB的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）∵OA=4，OB=8，
∴A（0，4），B（8，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．

（2）如图，作CM⊥OB于M，CN⊥OD于N．
∵CN∥OB，CM∥OA，
∴$\frac{CN}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CM}{OA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{CN}{8}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CM}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴CN=2．CM=3，
∴点C坐标为（2，3），把点C代入y=-2x+b，得3=-4+b，
∴b=7．

（3）∵直线y=-2x+b交x轴和y轴于点D、E，
∴D（0，b），E（$\frac{b}{2}$，0），
∵CN∥OE，CM∥OD，
∴$\frac{CN}{OE}$=$\frac{DC}{DE}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{OD}$=$\frac{EC}{ED}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CN}{\frac{b}{2}}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{b}$=$\frac{3}{5}$，
∴CN=$\frac{b}{5}$，CM=$\frac{3}{5}b$，
∴C（$\frac{b}{5}$，$\frac{3}{5}$b），把点C坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x+4得到，$\frac{3}{5}$b=-$\frac{b}{10}$+4，
∴b=$\frac{40}{7}$．

点评 本题考查相似综合题，平行线分线段成比例定理、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．