Question

已知M、N为双曲线（x＞0）上两点，且其横坐标分别为a，a+2，分别过M、N作y轴、x轴的垂线，垂足分别为C、A，交点为B．
（1）若矩形OABC的面积为12，求a的值；
（2）随着a的取值的不同，M、N两点不断运动，判断M能否为BC边的中点，同时N为AB中点？请说明理由；
（3）矩形OABC能否成为正方形？若能，求出此时a的值及正方形的边长，若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵M、N为双曲线（x＞0）上两点，且其横坐标分别为a，a+2，
∴OA=a+2，OC=，
∵矩形OABC的面积为12，
∴（a+2）•=12，解得a=1；

（2）能．
∵当M为BC边的中点时，2a=a+2，解得a=2，
∴OA=4，OC=AB=2，
∵N点的横坐标为2a，
∴AN==1，
∴当a=2时能使M为BC边的中点，同时N为AB中点；

（3）∵当OA=OC时，矩形OABC为正方形，
∴a+2=，解得a₁=-1，a₂=--1（舍）
∴此时边长为OA=a+2=+1．
分析：（1）由M、N为双曲线（x＞0）上两点，且其横坐标分别为a，a+2可得出OA及OC的长度，再根据BA⊥x轴，BC⊥y轴可知，四边形OABC是矩形，由矩形OABC的面积为12即可得出a的值；
（2）若M为BC边的中点，由2a=a+2可求出a的值，进而得出OA、OC的长度，故可得出AN的长，进而得出结论；
（3）由正方形的性质可知当OA=OC时矩形OABC为正方形，即a+2=，求出a的值，再根据OA=a+2即可得出其边长．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意用a表示出OA及OC的长是解答此题的关键．