Question

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
∵抛物线过原点，
∴a（0-2）²+1=0，a=-．
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1=-x²+x．

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是-3．
∴-3=-x²+x，即x²-4x-12=0．
解之，得x₁=6，x₂=-2．
∴满足条件的点有两个：M₁（6，-3），M₂（-2，-3）

（3）不存在．
由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，
即OB平分∠AON，
设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，
∴A'（2，-1）．
∴直线ON的解析式为y=-x．
由-x=-x²+x，得x₁=0，x₂=6．
∴N（6，-3）．
过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，
∴NB==．
又∵OB=4，
∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．
所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
分析：（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x-2）²+1，把O（0，0）代入即可；
（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为-3即可，将y=-3，代入解析式可求M点坐标；
（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．
点评：本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．