Question

（2012•南岗区二模）已知：BD为△ABC边AC上的高，E为BC上一点，CE=2BE，∠CAE=30°，若EF=3，BF=4，则AF的长为

7

．

Answer 1

分析：过E作EM⊥BD于M，求出∠DFA=60°=∠EFM，求出∠MEF，根据EF=3，求出EM、FM，求出BM，根据勾股定理求出BE、求出BC，根据cos∠CBD求出DB，求出FD，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答：解：过E作EM⊥BD于M，则∠BME=∠FME=90°，
∵∠CAE=30°，∠BDA=90°，
∴∠AFD=60°=∠EFM，
∴∠MEF=30°，
∵EF=3，
∴MF=

3

2

，
由勾股定理得：EM=

3

2

3

，
∵BF=4，
∴BM=4-

3

2

=

5

2

，
在△BEM中，由勾股定理得：BE=

BM2+EM2

=

13

，
∵CE=2BE，
∴BC=3

13

，
∵cos∠CBD=

BD

BC

=

BM

BE

=

5 2

13

，
∴

BD

3 13

=

5 2

13

，
BD=

15

2

，
∴DF=BD-BF=

15

2

-4=

7

2

，
∵∠FDA=90°，∠FAD=30°，
∴AF=2DF=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．