如图①.矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形.AB=4.BC=8.现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转.点A旋转后的位置为点M.点D旋转后的位置为点N.以C为原点.以BC所在直线为x轴.以过点C垂直于BC的直线为y轴.建立如图②的平面直角坐标系．(1)求直线AM的解析式,(2)将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动.如图③.设OC=x.Rt△MNC与Rt△ABO� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8，现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N，以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．

（1）求直线AM的解析式；
（2）将Rt△MNC沿轴的负方向平行移动，如图③，设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；
①当x=2，与x=10时，求S的值；
②求S与x之间的函数关系式．

分析：（1）根据旋转的性质，求出A（-8，4），M（4，8）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，根据梯形的面积公式解答；
②通过图形的面积公式和相似三角形的性质分段进行计算从当0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤10及10＜x≤12四个不同的取值范围表示出S就可以求出结论．

解答：解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：
A（-8，4），M（4，8），
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分别代入解析式得：

-8k+b=4

4k+b=8

，
解得：

，
则直线AM解析式为y=

；

（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

AB•OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

，
∴

S△AOB

=（

）²，即

=（

）²=

，

解得：S=

；
②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，
可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

，即

，
∴NQ=3，
∴S=

（QN+AB）•BN=

×（3+4）×2=7；

（3）如图所示：
①如图1，当0＜x≤4时，
S=S_△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，
∴

S△AOB

)2，
∴

)2，
S=

，
②如图5，当4＜x≤8时，

S=S_△POC-S_△NHO，
S=

(x-4)(x-4)

x2+2x-4，
③如图4，当8＜x≤10时，
S=S_△FCO-S_△BCG-S_△ENO，
=

2(x-8)(x-8)

(x-4)(x-4)

，
=-

x²+18x-68
④如图2，10＜x≤12时，
CO=x，NO=x-4，NQ=

（x-4），BN=12-x
∴S=_{S四边形ABNQ}=

[

(x-4)+4](12-x)

，
=-

x²+2x+12．
∴S与x的函数关系式为：S=

(0＜x≤4)

x2+2x-4(4＜x≤8)

x2+18x-68(8＜x≤10)

x2+2x+12(10＜x≤12)

．

点评：本题考查了一次函数的综合问题，涉及动点问题及二次函数的最值、三角形的面积及梯形面积的计算，相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，综合性较强，灵活运用相似三角形的性质是关键．

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