Question

已知直角梯形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，∠DCB=30°，AB边在y轴上，点D的横坐标为6，CQ⊥x轴，垂足为Q，点Q的横坐标为12，过CD的直线l交x轴于点E，E点坐标为（18，0）．
（1）求直线l的解析式，以及点A和点B的坐标；
（2）P为线段CD上一动点，连结PQ、OP，探究△POQ的周长，并求出当周长最小时，P的坐标及此时的该三角形的周长；
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B-C-D-A的方向绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒为2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连结MO和MN，试探究当t为何值时MO=MN．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，可得∠DEO=∠DCB=30°，设OF=x，则EF=2x，在Rt△EFO中，利用勾股定理可解出x，继而得出点F的坐标，利用待定系数法可确定EF的解析式，求出点D的纵坐标，点C的纵坐标后，可得点A和点B的坐标；
（2）根据轴对称的性质，作点Q关于直线EF的对称点，连接OQ'，则OQ'与CD的交点即是点P的位置，易判断△Q'QE是等边三角形，从而根据△POQ的周长的周长=OQ+OQ'，即可求出答案．
（3）分三段讨论，①点M在线段BC上，②点M在线段CD上，③点M在线段DA上，分别根据等腰三角形三线合一的性质得出关于t的方程，解出后结合实际判断即可得出答案，一定要分清是点M还是点N先到达终点．

解答：解：（1）∵∠DCB=30°，
∴∠DEO=30°，
设OF=x，则EF=2x，
在Rt△EFO中，OF²+OE²=EF²，即x²+18²=（2x）²，
解得：x=6

3

，
∴OF=6

3

，则F（0，6

3

），
设直线l的解析式为y=ax+b（a≠0），经过E（18，0）、F（0，6

3

）两点，
则

18a+b=0 b=6 3

，
解得：

a=- 3 3 b=6 3

，
∴y=-

3

3

x+6

3

，
当x=6时，y=4

3

；当x=12时，y=2

3

，
∴A（0，4

3

），B（0，2

3

）．

（2）如图：作点Q关于直线EF的对称点，连接OQ'，则OQ'与CD的交点即是点P的位置，

易证△Q'QE为等边三角形，则Q'（15，3

3

），
∴L_OQ'：y=

3

5

x，
∴

y= 3 5 x y=- 3 3 x+6 3

，
解得：

x= 45 4 y= 9 3 4

，
∴P（

45

4

，

9 3

4

），
∴C△OPQ=12+

152+(3 3 )2

=12+6

7

．

（3）①当点M在线段BC上时0≤t≤6，BM=2t，OQ=12-t，

根据三线合一得：2（2t）=12-t，
解得：t=

12

5

s，
②当点M在CD上时，

由于CD=4

3

，所以6＜t≤6+2

3

，而此时点N已经向左运动超过了点（6，0），
所以在CD上不可能存在点M．
③点M在DA上运动时，6+2

3

＜t＜12，（注意，点N先到达终点，因而只能运动12秒就停止了）．
AM=18+4

3

-2t，ON=12-t，

根据三线合一得：2（18+4

3

-2t）=12-t，
解得：t=

24+8 3

3

＞12s，所以在DA上不可能存在点M．
但当t=12时MO=MN（此时点N与点O重合）．
综上可得：t=

12

5

s或t=12s时MO=MN．

点评：本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质及轴对称求最短路径的知识，解答本题需要同学们具有扎实的基本功，注意数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．