Question

如图，某市“八一”广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m、120m，花坛中有一横两纵的通道，设横、纵通道的宽度分别为3x（m）、2x（m），三条通道的总面积为S（m²）．
（1）求S与x之间的函数关系，并直接写出x的取值范围；
（2）甲设计单位的方案中，通道总面积为花坛总面积的，求该设计单位设计的横、纵通道的宽分别是多少？
（3）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x元，乙单位根据信息，设计了花坛总造价最低的方案，你知道乙单位设计方案中横、纵通道的宽分别为多少米吗？花坛的最低总造价是多少元？（以下数据可供参考：85²=7225，86²=7396，87²=7569）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等量关系“三条道路的总面积=横通道的面积+纵通道的面积-重叠的面积”列出函数关系式即可；
（2）根据等量关系“通道总面积为花坛总面积的”列出方程求解；
（3）根据等量关系“花坛总造价=绿化造价+通道造价”列出函数关系，并求得函数的最大值．
解答：解：（1）由题意得：
S=3x•200+2x•120×2-2×6x²=-12x²+1080x
又∵x＞0，4x＜200，3x＜120，
∴解得：0＜x＜40，
即0＜x＜40；

（2）由S=×200×120，得：
则-12x²+1080x=×200×120，
即x²-90x+176=0，
解得：x=2或x=88（不合题意舍去）
故x=2，得横、纵通道的宽分别是6m、4m．

（3）设花坛总造价为y元．
则y=3168x+（200×120-S）×3
=3168x+（24000+12x²-1080x）×3
=36x²-72x+72000
=36（x-1）²+71964，
当x=1，即横、纵通道的宽分别为3m、2m时，花坛总造价最低，最低总造价为71964元．
点评：本题考查了运用函数方程解决实际问题，并考查了函数最大值的求解问题，根据种花的面积得到关系式是解决本题的关键．