Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S_△FGC=3.6．
则正确结论的个数有（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,正方形的性质

专题：计算题

分析：根据正方形的性质易得AD=CD=BC=6，则由CD=3DE得到CD=2，DE=4，根据折叠的性质得到AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，则可根据“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG；根据全等的性质得BG=FG，设BG=x，则GF=x，CG=6-x，在Rt△CGE中，利用勾股定理得到x²+4²=（x+2）²，解得x=3，则BG=CG=3；由GF=CG，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，利用三角形外角性质得∠BGF=2∠GCF，又由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠BGA=∠FGA，易得∠BGA=∠GCF，于是根据平行线的判定得到AG∥CF；由△ADE沿AE对折至△AFE得∠DAE=∠FAE，由Rt△ABG≌Rt△AFG得∠BAG=∠FAG，所以∠EAF+∠GAF=

1

2

（∠DAF+∠BAF）=45°，即∠GAE=45°；作FH⊥GC于H，如图，易证得△GFH∽△GEC，利用相似比计算出FH=

12

5

，然后根据三角形面积公式可计算出S_△GCF=3.6．

解答：解：∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AD=CD=BC=6，
∵CD=3DE，
∴CD=2，DE=4，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），所以①正确；
∴BG=FG，
设BG=x，则GF=x，CG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=GF+EF=x+2，CE=4，CG=x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴x²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，
∴CG=BC-BG=3，
∴BG=CG，所以②正确；
∵GF=CG=3，
∴∠GFC=∠GCF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠BGF=2∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BGA=∠FGA，
∴∠BGF=2∠BGA，
∴∠BGA=∠GCF，
∴AG∥CF，所以③正确；
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠EAF+∠GAF=

1

2

（∠DAF+∠BAF）=

1

2

×90°=45°，
即∠GAE=45°，所以④正确；
作FH⊥GC于H，如图，
∴FH∥EC，
∴△GFH∽△GEC，
∴

FH

EC

=

GF

GE

，即

FH

4

=

3

5

，解得FH=

12

5

，
∴S_△GCF=

1

2

×3×

12

5

=3.6，所以⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质、三角形全等和相似的判定与性质、平行线的判定和勾股定理．