Question

已知抛物线y=ax²+3x过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC=2，直线BD交y轴于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：抛物线y=ax²+3x过点C（4，0），
∴16a+12=0，解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x；

（2）∵y=-x²+3x=-（x²-4x）=-（x-2）²+3，
∴顶点D的坐标为（2，3）．
∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC=2，
∴B（4，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，
得，解得，
∴直线BD的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
∴点A的坐标为（0，4）；

（3）在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：
设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．
分两种情况：
①∵DM∥BC，∴当DM=BC时，四边形BCMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM=BC，
∴3-y=2，解得y=1，
∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，
此时，∵OM==，AD==，
∴OM=AD，
又∵AO∥DM，AO≠DM，
∴四边形AOMD是等腰梯形；
②∵DM∥AO，∴当DM=AO时，四边形AOMD是平行四边形．
∵D（2，3），DM=AO，
∴3-y=4，解得y=-1，
∴当M的坐标为（2，-1）时，四边形AOMD是平行四边形，
此时，∵CM==，BD==，
∴CM=BD，
又∵BC∥DM，BC≠DM，
∴四边形BCMD是等腰梯形．
综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，-1）．
分析：（1）将C（4，0）代入y=ax²+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC=2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y=kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x=0求出y的值，进而得到点A的坐标；
（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DM∥BC∥AO．分两种情况讨论：①当DM=BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM=AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．