Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，已知点B（4，2），D（-1，0），且一次函数y=kx-1的图象平分等腰梯形ABCD的面积。

（1）求等腰梯形ABCD的中位线长及一次函数y=kx-1中k的值．
（2）若关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

Answer 1

（1）k=1，（2）m=0或1/2或-1解析:
解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于点P，

（1）由图可知P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.
∴P点坐标为（2，1）             --------2分
∵OC＝BE，AB＝CD
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL）, 可得AD=6，中位线长=5------4分
∴两个三角形面积相等
∵一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，点（0，-1）与P（2，1）经过直线
代入得：2k-1="1" ∴k=1               -------6分
（2）∵y=mx²-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点
分情况讨论：①   当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点
分别是：（0，1），（1，0）          --------8分
②当m≠0时，函数为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）
若抛物线过原点时，2m+1=0，即m= -1/2，-----10分
此时△＝(m+1)²=＞0
∴符合题意此时△＝（3m+1）²-4m（2m+1）="0"
解得：m₁=m₂= -1                  ---------12分
综述m的值为m=0或1/2或-1
此题为综合性题，考查了全等三角形，一次函数，二次函数