Question

如图，已知BD，CE为△ABC的角平分线，F为DE的中点，点F到AC，AB，BC的距离分别为FG=a，FH=b．FM=c，若c²-c-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0．
（1）求a，b，c，m的值；
（2）求证：DG=

BC-CD

4

．

Answer 1

分析：（1）过点E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，过点D作DK⊥BC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EQ=EN，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EQ=2FG=2a，同理可得DK=2FH=2b，再根据垂直于同一直线的两直线平行可得EN∥FM∥DK，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半可得EN+DK=2FM，从而求出2a+2b=2c，然后把c换成a、b并配方整理，再根据非负数的性质列式求出a、b、m，再求出c即可；
（2）根据a、b的值可得EN=DK，求出DE∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠EDB，再根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，从而得到∠EBD=∠EDB，根据等角对等边可得BE=DE，然后利用“HL”证明△EDQ和△EBN全等，同理可得△EDQ和△DCK全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=DQ=CK，再求出BC-CD=4DG，然后整理即可得证．

解答：（1）解：如图，过点E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，过点D作DK⊥BC于K，
∵CE为△ABC的角平分线，
∴EQ=EN，
在△DEQ中，∵F为DE的中点，
∴EQ=2FG=2a，
同理可得DK=2FH=2b，
在四边形ENKD中，EN∥FM∥DK，
∴EN+DK=2FM，
即2a+2b=2c，
∵c²-c-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
∴（a+b）²-（a+b）-2ab+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
即a²+b²-2ab-a-b+

1

2

m²-2m+

5

2

=0，
整理得，（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²+

1

2

（m-2）²=0，
∴a-

1

2

=0，b-

1

2

=0，m-2=0，
解得a=

1

2

，b=

1

2

，m=2，
∴c=a+b=

1

2

+

1

2

=1，
故，a，b，c，m的值分别为

1

2

、

1

2

、1、2；

（2）证明：∵a=b=

1

2

，
∴EN=DK，
∴ED∥BC，
∴∠CBD=∠EDB
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
在△EDQ和△EBN中，

BE=DE EN=EQ

，
∴△EDQ≌△EBN（HL），
同理，△EDQ≌△DCK，
∴BN=DQ=CK，
∴BC-CD=BC-DE=BC-NK=2BN=2DQ=4DG，
∴DG=

BC-CD

4

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，求出a+b=c，然后利用配方法和非负数的性质列式求出a、b、m的值是解题的关键．