Question

如果x₁，x₂分别是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，请你解决下列问题：
（1）推导根与系数的关系：x₁+x₂=-，x₁x₂=；
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两个实根，利用根与系数的关系求（x₁-x₂）²的值；
（3）已知sina，cosa（0°＜a＜90°）是关于x的方程2x²-（）x+m=0的两个根，求角a的度数．

Answer 1

解：（1）∵x₁=，x₂=，
∴：x₁+x₂=--=-，x₁x₂==；
（2）根据题意得：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）由题意得，sinα+cosα=，sinα•cosα=，
∵（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
∴（）²=1+2×
∴m=，
原方程变为2x²-（+1）x+=0，解这个方程得x₁=，x₂=，
∴sinα=或sinα=，
∴α=30°或60°．
分析：（1）先根据求根公式得到x₁=，x₂=，然后求他们的和与积；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，再变形（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后理由整体代入的方法计算；
（3）根据根与系数的关系得到sinα+cosα=，sinα•cosα=，根据三角函数的关系得到（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
则（）²=1+2×，解得m=，再把m代入原方程，解方程得到x₁=，x₂=，则sinα=或sinα=，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．
点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=，x₁x₂=．也考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函数值．