Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△DCE位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD．
（1）求证：△ADC≌△BCD；
（2）请判断△ABE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
由旋转可得：△EDC≌△ABC，
∴∠DCE=∠ABC=72°，BC=DC，DE=AB=AC，
又B、C、E三点共线，
∴∠BCD=108°，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=36°，
又∠E=36°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=ED，
∴BD=CA，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS）；
（2）△ABE为等腰三角形，理由为：
证明：∵△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD=108°，又∠CDE=72°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，即A、D、E三点共线，
又∠BAE=∠BAC+∠CAD=72°，∠ABE=72°，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE，即△ABE为等腰三角形．
分析：（1）由等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，理由等边对等角得到一对底角相等，再利用内角和定理求出底角的度数，再由顺时针旋转△ABC到△DCE位置，利用旋转的性质得到三角形DEC与三角形ABC全等，利用全等三角形的对应边相等及对应角相等得到AB=AC=DE=CE，BC=DC，∠DCE=∠ABC=72°，由BC=DC得到三角形BCD为等腰三角形，由三角形的内角和定理求出∠DBC为36°，与∠E相等，利用等角对等边得到DB=DE，而DE=AC，故得到BD=AC，利用SAS可得出三角形ADC与三角形BCD全等；
（2）△ABE为等腰三角形，理由为：由第一问得出的三角形ADC与BCD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ADC=108°，而∠CDE=72°，得出两角互补，即为邻补角，进而确定出A、D、E三点共线，由∠BAC+∠CAD求出∠BAE的度数，发现与∠ABE的度数相等，利用等角对等边可得出EA=EB，即三角形ABE为等腰三角形．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．