Question

如图9 ，在平面直角坐标系中，已知点A （2 ，3 ）、B （6 ，3），连结AB，如果点P 在直线y ＝x －1 上，且点P 到直线AB 的距离小于1 ，那么称点P 是线段AB 的“邻近点”。
（1 ）判断点Ｃ（，）  是否是线段AB 的“邻近点”，并说明理由；
（2 ）若点Q（m，n）是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围。

Answer 1

解：（1）点Ｃ（）  是线段AB 的“邻近点”，
∵，  
∴点Ｃ（）在直线y ＝x －1 上，
∵点A 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，
∴ AB ∥x 轴，
∴Ｃ（）  到线段AB 的距离是3 －，
∵3 -＜1 ，
∴Ｃ（）是线段AB 的“邻近点”；
（2）∵点Q （m ，n ）是线段AB 的“邻近点”，
∴ 点Q（m ，n ）在直线y ＝x －1 上，
∴ n ＝m －1。
① 当m ≥4 时，有n ＝m －1 ≥3，
又AB ∥x 轴，
∴ 此时点Q （m ，n ）到线段AB 的距离是n －3，
∴0 ≤n －3 ＜1，
∴4 ≤m＜5，
② 当m ≤4 时，
有n＝m－1≤3，
又AB∥x 轴，
∴ 此时点Q （m ，n ）到线段AB 的距离是3 －n.，
∴0 ≤3 －n ＜1，
∴ 3＜m ≤4，
综上所述，3＜m＜5。