Question

如图，点M（m，n）在第一象限，且2

m-4

+3

8-2m

=n-4，过O、M两点作圆分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，C在弧AO上，BC交OM于D，且CO=CD．
（1）求M点的坐标；
（2）若∠BDM=60°，连AM，求

AM

OB

的值；
（3）过D作DH⊥AB于H，下列结论：①DH+

1

2

AB的值不变；②DH+AB的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你作出正确判断并予以证明．

Answer 1

分析：（1）根据二次根式有意义的条件可以求得m、n的值，即可求出点M的坐标；
（2））根据AB是直径，∠BOM=∠MOA=45°，得出△MAB是等腰直角三角形，再根据∠BDM=60°，得出△OCD是等边三角形，即可得出∠BAO=∠BMO=60°，最后根据∠BDM=60°，得出△DBM是等边三角形，从而求出

AM

OB

的值；
（3）先证出D为△BOA内心，再过点D作DF⊥OA于点F，DE⊥BO于点E，得出四边形EOFD是正方形，即可证出OA+OB=2HD+AB，再过点M做MG⊥x轴，MN⊥y轴，垂足分别为G，N，
证出△BMN≌△AMG，即可得出OB+OA=8，从而得出①的值不变．

解答：解：（1）∵2

m-4

+3

8-2m

=n-4，
∴

m-4≥0 8-2m≥0

解得，m=4，
∴n=4，
∴M点的坐标（4，4）；

（2）∵AB是直径，∠BOM=∠MOA=45°，
∴等腰Rt△MAB，AM=

2

2

AB，
∵∠BDM=60°，
∴∠ODC=60°，
∵CO=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BAO=∠BMO=60°，
∵∠BDM=60°，
∴△DBM是等边三角形，
∴OB=

3

2

AB，
∴

AM

OB

=

2

3

=

6

3

；

（3）由图可知：
∵CO=CD，∠ODC=∠D0C，
∴∠ODC=45°+∠OBC，∠D0C=45°+∠AOC=45°+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABC，D为△BOA内心，
过点D作DF⊥OA于点F，DE⊥BO于点E，
∴DH=DE=DF，BH=BE，AH=AF，
∠DEO=∠EOF=∠OFD=90°，
∴四边形EOFD是正方形，
∴BE+AF=BH+AF=AB，
∴OA+OB=OE+BE+OF+AF=DH+BE+DH+AF=2HD+AB，
过点M做MG⊥x轴，MN⊥y轴，垂足分别为G，N，
则MG=MN=4，
∴ON=OG=4，
又∵∠BAM=∠BOM=45°，
∠ABM=∠MOA=45°，
∴∠ABM=∠BAM，
∴MB=MA，
∴△BMN≌△AMG，
∴BN=AG，
∴OB+OA=ON+BN+OA=ON+AG+OA=ON+OG=4+4=8，
∴2HD+AB=8，
∴HD+

1

2

AB=4，
故①DH+

1

2

AB的值不变．

点评：此题考查了三角形内切圆与内心，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次根式有意义的条件等，解题的关键是根据题意作出辅助线．