Question

如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB=AD，延长CB、DA交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB=BO，连接OA．
（1）求证：OA∥CD；
（2）求线段BC：DC的值；
（3）若CD=18，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由圆周角定理可知∠BDC=90°，即CD⊥BD，再由AB=AD可知

AB

=

AD

，则OA⊥BD，由此即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则PB=OB=OC=OA=r，再由OA∥CD可知，△OAP∽△CDP，故可得出

OP

PC

=

OA

CD

，故可用r表示出CD的长，再求出BC：DC的值即可；
（3）由OF∥CD，OB=OC根据中位线定理可以求出OF，AF；再根据勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接着在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行线的性质得∠FAD=∠CDE证明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例可以求出DE．

解答：（1）证明：连接BD，交OA于点F．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BD，
∵AB=AD，
∴

AB

=

AD

∴OA⊥BD，
∴OA∥CD；

（2）解：设⊙O的半径为r，
∵PB=OB，
∴PB=OB=OC=OA=r，
∵OA∥CD，
∴△OAP∽△CDP，
∴

OP

PC

=

OA

CD

，

2r

3r

=

r

CD

，解得CD=

3r

2

，
∴

BC

CD

=

2r

3r 2

=

4

3

；

（3）解：∵OF∥CD，

OF

DC

=

BO

BC

=

1

2

，
∴OF=9，AF=3；
∵BD=

BC2-DC2

=6

7

，
∴DF=

1

2

BD=3

7

，
∴AD=

DF2+AF2

=6

2

；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE，
∴△AFD∽△DEC，
∴

DE

DC

=

AF

AD

，即

DE

18

=

3

6 2

；
∴DE=

9 2

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，综合性比较强，此题把垂径定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，中位线定理等知识都放在圆的背景中，充分发挥这些知识的作用解题．